Varöfr har sinus två lösningar
De två lösningar man kan se i enhetscirkelns första varv har nu hittats.4.4 Trigonometriska ekvationer
Förberedande utbildning inom matematik 1
Hoppa till: navigering, sök
| Teori | Övningar | Ja/Nej? |
Innehåll:
- Trigonometriska grundekvationer
- Enklare trigonometriska ekvationer
Lärandemål:
Efter detta segment bör ni äga lärt dig att:
- Lösa trigonometriska grundekvationer.
- Lösa trigonometriska ekvationer likt förmå återföras mot ovanstående ekvationstyp.
Grundekvationer
Trigonometriska ekvationer förmå artikel många komplicerade, dock detta finns även flera typer från trigonometriska ekvationer likt man kunna åtgärda tillsammans med ganska enkla metoder.
på denna plats skall oss börja tillsammans med för att titta vid dem maximalt primär trigonometriska ekvationerna, från typerna \displaystyle \sin x = a, \displaystyle \cos x = a samt \displaystyle \tan x = a.
Från denna faktoriserade form eller gestalt från ekvationen ser oss för att lösningarna antingen måste uppfylla sinx=0 alternativt sinx=−21, vilka existerar numeriskt värde vanliga grundekvationer vid formen sinx=a samt är kapabel lösning vilket inom modell 1.Dessa ekvationer äger inom regel oändligt flera lösningar, såvida ej omständigheterna begränsar antalet tänkbara lösningar (t.ex. för att man söker enstaka spetsig vinkel).
Exempel 1
Lös ekvationen \displaystyle \,\sin x = \frac{1}{2}.
Vår arbetsuppgift existerar för att besluta varenda vinklar likt fullfölja för att sinus från vinkeln blir \displaystyle \tfrac{1}{2}.
oss tar hjälp från enhetscirkeln. Notera för att vinkeln denna plats kallas \displaystyle x.
I figuren besitter oss angivit dem numeriskt värde riktningar vilket ger punkter tillsammans y-koordinat \displaystyle \tfrac{1}{2} inom enhetscirkeln, dvs. vinklar tillsammans sinusvärdet \displaystyle \tfrac{1}{2}.
Eftersom tangens från ett vinkel äger perioden 180° får oss samtliga lösningar vid ekvationen som.Den inledande existerar standardvinkeln \displaystyle 30^\circ = \pi / 6 samt från symmetriskäl bildar den andra vinkeln \displaystyle 30^\circ mot den negativa x-axeln, vilket fullfölja för att den vinkeln existerar \displaystyle 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ alternativt inom radianer \displaystyle \pi – \pi / 6 = 5\pi / 6. Detta existerar dem enda lösningar mot ekvationen \displaystyle \sin x = \tfrac{1}{2} mellan \displaystyle 0 samt \displaystyle 2\pi.
Vi kunna dock lägga mot en godtyckligt antal varv mot dessa numeriskt värde vinklar samt kvar erhålla identisk sinusvärde. varenda vinklar tillsammans med sinusvärde \displaystyle \tfrac{1}{2} existerar alltså
| \displaystyle \begin{cases} x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\ x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi \end{cases} |
där \displaystyle n existerar en godtyckligt heltal.
Detta kallas på grund av den fullständiga lösningen mot ekvationen.
Lösningarna syns även inom figuren nedan var grafen mot \displaystyle y = \sin x skär linje \displaystyle y=\tfrac{1}{2}.
Exempel 2
Lös ekvationen \displaystyle \,\cos x = \frac{1}{2}.
oss tar återigen hjälp från enhetscirkeln.
Vi vet för att cosinus blir \displaystyle \tfrac{1}{2} på grund av vinkeln \displaystyle \pi/3.
Den enda andra riktning inom enhetscirkeln såsom ger identisk värde vid cosinus besitter vinkeln \displaystyle -\pi/3.
Lägger oss mot en helt antal varv mot dessa vinklar får oss den fullständiga lösningen
| \displaystyle x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,} |
där \displaystyle n existerar en godtyckligt heltal.
Exempel 3
Lös ekvationen \displaystyle \,\tan x = \sqrt{3}.
enstaka svar mot ekvationen existerar standardvinkeln \displaystyle x=\pi/3.
Om oss betraktar enhetscirkeln således existerar tangens från enstaka vinkel lika tillsammans med riktningskoefficienten på grund av den räta linje genom origo såsom bildar vinkeln \displaystyle x tillsammans med den positiva x-axeln.
Därför ser oss för att lösningarna mot \displaystyle \tan x = \sqrt{3} upprepar sig varenda halvt varv \displaystyle \pi/3, \displaystyle \pi/3 +\pi, \displaystyle \pi/3+ \pi +\pi osv.
Här lär ni dig då sinussatsen ger numeriskt värde fall (lösningar).Den fullständiga lösningen är kapabel oss därmed erhålla fram genom för att utgå ifrån lösningen \displaystyle \pi/3 samt lägga mot alternativt dra ifrån multiplar från \displaystyle \pi,
| \displaystyle x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,} |
där \displaystyle n existerar en godtyckligt heltal.
Några mer komplicerade ekvationer
Trigonometriska ekvationer förmå titta ut vid flera olika sätt, samt detta existerar omöjligt för att denna plats ge ett fullständig översyn från samtliga tänkbara ekvationer.
dock låt oss analysera några modell, var oss är kapabel äga nytta från för att oss kunna åtgärda grundekvationerna.
Vissa trigonometriska ekvationer är kapabel förenklas genom för att dem skrivs ifall tillsammans hjälp från trigonometriska samband. Detta förmå t.ex.
lösningar mot trigonometrisk ekvationer.leda mot ett andragradsekvation, såsom inom nedanstående modell var man använder för att \displaystyle \cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1.
Exempel 4
Lös ekvationen \displaystyle \,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0.
Omskrivning tillsammans med hjälp från formeln \displaystyle \cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1 ger
| \displaystyle (2 \cos^2\!x – 1) – 4\cos x + 3 = 0\,\mbox{,} |
vilket förmå förenklas mot ekvationen (efter division tillsammans 2)
| \displaystyle \cos^2\!x - 2 \cos x +1 =0\,\mbox{.} |
Vänsterledet förmå faktoriseras tillsammans kvadreringsregeln mot
| \displaystyle (\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.} |
Denna ekvation är kapabel bara artikel uppfylld ifall \displaystyle \cos x = 1.
Grundekvationen \displaystyle \cos x=1 förmå oss åtgärda vid detta vanliga sättet samt den fullständiga lösningen existerar
| \displaystyle x = 2n\pi \qquad (\,n \mbox{ godtyckligt heltal).} |
Exempel 5
Lös ekvationen \displaystyle \,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0.
i enlighet med den trigonometriska ettan existerar \displaystyle \sin^2\!x + \cos^2\!x = 1, dvs.
\displaystyle 1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x. Ekvationen förmå alltså tecknas
| \displaystyle \tfrac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.} |
Genom för att för tillfället avbryta ut ett faktor \displaystyle \sin x får oss
| \displaystyle \sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.} |
Från denna faktoriserade form eller gestalt från ekvationen ser oss för att lösningarna antingen måste uppfylla \displaystyle \sin x = 0 alternativt \displaystyle \sin x = -\tfrac{1}{2}, vilka existerar numeriskt värde vanliga grundekvationer vid formen \displaystyle \sin x = a samt kunna lösning såsom inom modell 1.
Lösningarna blir mot slut
| \displaystyle \begin{cases} x &= n\pi\\ x &= -\pi/6+2n\pi\\ x &= 7\pi/6+2n\pi \end{cases} \qquad (\,n\ \text{godtyckligt heltal})\mbox{.} |
Exempel 6
Lös ekvationen \displaystyle \,\sin 2x =4 \cos x.
Trigonometriska funktioner: Funktioner likt innehåller sinus, cosinus alternativt tangens.
Genom omskrivning tillsammans formeln på grund av dubbla vinkeln blir ekvationen
| \displaystyle 2\sin x\,\cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.} |
Vi delar båda led tillsammans med 2 samt bryter ut ett faktor \displaystyle \cos x, vilket ger
| \displaystyle \cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.} |
Eftersom produkten inom vänsterledet bara förmå bli noll genom för att enstaka faktor existerar noll, sålunda kunna ekvationen delas upp inom grundekvationerna
- \displaystyle \cos x = 0,
- \displaystyle \sin x = 2.
Men \displaystyle \sin x är kapabel inte någonsin bli större än 1, sålunda ekvationen \displaystyle \sin x = 2 saknar lösningar. Då återstår bara \displaystyle \cos x = 0, vilken tillsammans hjälp från enhetscirkeln ger den fullständiga lösningen \displaystyle x = \pi / 2 + n \cdot \pi.
Exempel 7
Lös ekvationen \displaystyle \,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1.
tillsammans med den trigonometriska ettan förmå \displaystyle \sin^2\!x bytas ut mot \displaystyle 1 – \cos^2\!x.
Då får oss
| \displaystyle \begin{align*} 4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\ 4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\ –4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\ \cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\ \end{align*} |
Detta existerar enstaka andragradsekvation inom \displaystyle \cos x, likt äger lösningarna
| \displaystyle \cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{och}\quad \cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.} |
Eftersom värdet från \displaystyle \cos x ligger mellan \displaystyle –1 samt \displaystyle 1 förmå ekvationen \displaystyle \cos x=-\tfrac{3}{2} ej äga några lösningar.
Då återstår bara grundekvationen
| \displaystyle \cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{,} |
som löses i enlighet med modell 2.
Övningar
Råd på grund av inläsning
Grund- samt slutprov
Efter för att ni besitter läst texten samt arbetat tillsammans med övningarna bör ni utföra grund- samt slutprovet till för att bli erkänd vid detta del.
ni hittar länken mot proven inom din lärjunge lounge.
Tänk vid att:
Det existerar utmärkt ifall man lär sig dem vanliga trigonometriska formlerna (identiteterna) samt övar upp ett viss vana vid för att förenkla samt manipulera trigonometriska formulering.
Det existerar viktigt för att man lär sig dem primär ekvationerna, från typen \displaystyle \sin x = a, \displaystyle \cos x = a alternativt \displaystyle \tan x = a (där \displaystyle a existerar en reellt tal).
detta existerar även viktigt för att man vet för att dessa ekvationer typiskt äger oändligt flera lösningar.
Länktips
Experimentera tillsammans grafen y=a sin b(x-c)